고 3 수능 미적분 29번 문제에서 b₁이 어떻게 27이 되는지 설명을 부탁드립니다.

b(k+1) = 1/a1 - 1

b(k+2) = 1/a2 - 1

b(k+3) = 1/a3 - 1

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an이 첫항, 공차 같은 등차이므로 첫항을 a라고 하면 an = na

bn은 등비이므로 b(k+2)² = b(k+1)*b(k+3)

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{1 / 2a - 1}² = {1 / a - 1}{1/3a - 1}

1/4a² - 1/a + 1 = 1/3a² - 1/3a - 1/a + 1

1/4a² - 1/a = 1/3a² - 1/3a - 1/a

3 - 12a = 4 - 4a - 12a

4a = 1

a = 1/4

a1 = 1/4, a2 = 1/2, a3 = 3/4, ....

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즉, b(k+1) = 4-1 = 3

b(k+2) = 2-1 = 1

b(k+3) = 4/3 - 1 = 1/3

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bn의 공비는 1/3임을 알 수 있음.

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일단 여기까지가 박스 위 정보를 정리한 것임

즉, an = n/4라는 것과 bn은 공비가 1/3인 등비수열

b1 = b라고 하면 bn = b*(1/3)^(n-1)

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Σ(bn - 1/ana(n+1))

= Σbn - Σ(1/ana(n+1))

= b*Σ(1/3)^(n-1) - 16*Σ{1/n - 1/(n+1)}

각 시그마의 극한이 수렴하므로 전체를 무한대항까지 더하면

극한은 b* 1/(1 - 1/3) - 16*1

= 3b/2 - 16

이게 0과 30 사이

0＜3b/2 - 16＜30

16＜3b/2＜46

32/3＜b＜92/3

여기서는 b = 27이라는 결과가 나오지 않습니다.

이것만 가지고는 말입니다.

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여기서 위에 정리한 것 중 놓친 것이 있습니다.

bn중에는 3, 1, 1/3의 값을 가지는 경우들이 있다는 것을 말입니다.

따라서 b의 값은 b*(1/3)^(n-1)을 대입해서 3이 나올 수 있는 값이어야 합니다.

b(k+1) = 3이므로

b*(1/3)^k = 3

b = 3*3^k

b = 3^(k+1)입니다.

k는 자연수이니

b는 3의 거듭제곱 중 9의 배수인 것입니다.

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10.xxx＜b＜30.xxx 범위에 들어가는 값 중

3의 거듭제곱인 수는 27 뿐입니다.

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그래서 b1 = 27입니다.